Prvočísla
Prvočíslo je přirozené číslo, které je beze zbytku dělitelné pouze jedničkou a sebou samým, přičemž samotná jednička prvočíslo není. Nejmenší prvočíslo je dvojka — je dělitelná beze zbytku jedničkou a dvojkou. Je to zároveň jediné prvočíslo, které je sudé. Všechna ostatní prvočísla jsou lichá, protože jakékoliv jiné sudé číslo je dělitelné kromě jedničky a sebou samým ještě právě dvojkou.

Existují důkazy, že už Egypťané znali prvočísla, ale první studie prvočísel pochází z Antického Řecka. Matematik Euklidus napsal knihu, která obsahovala důležité teorie prvočísel včetně například toho, že řada prvočísel je nekonečná. Eratosthenovo síto je jednoduchá metoda, pomocí které se dají jednoduše určovat prvočísla (počítače, které generují vysoká prvočísla používají jinou metodu).


Eratosthenes vyučující v Alexandrii
Bernardo Strozzi, Genoa 1581 – Venice 1644,
okolo 1635, olej na plátně 78.9 x 99.4 cm

 
 
Prvočísel je nekonečně mnoho. Největší dosud známé prvočíslo je Mersennovo prvočíslo, označuje se M43112609, kde spodní index určuje exponent z. Jedná se tak o prvočíslo 243112609−1. Bylo nalezeno 23. srpna 2008 a má 12, 978, 189 číslic.

Prvočísel se týká mnoho známých hypotéz, které se ještě nepovedlo dokázat ani vyvrátit. Mezi dvě nejznámější patří:

Nekonečnost prvočíselných dvojic: prvočíselná dvojice je dvojice čísel (z, z+2), přičemž obě tato čísla jsou prvočísla. Například (3, 5) nebo (29, 31). Otázkou je, zdali je těchto prvočíselných dvojic nekonečně mnoho. Předpokládá se, že ano, ale důkaz chybí.

Riemannova hypotéza: Všechny netriviální nulové body Riemannovy zeta-funkce mají reálnou část rovnou ½. Věta souvisí s rozložením prvočísel a jedná se o jeden tzv. Problémů tisíciletí a za její vyřešení vás čeká odměna milion dolarů.

Matematici se marně pokoušejí objevit nějaký zákon v rozmístění prvočísel, ale máme důvod se domnívat, že do tohoto problému naše mysl nikdy nepronikne. V roce 1975 tento problém komentoval Don Zagier:

"Existují dvě fakta ohledně rozmístění prvočísel, které vás, jak doufám, uchvátí tak, že budou navždy vryta ve vašich srdcích. První je to, že navzdory jejich jednoduché definici a jejich roli jako stavebních kamenů přirozených čísel, se prvočísla objevují okolo přirozených čísel, aniž by se řídila nějakým zákonem, tudíž nikdo nemůže předpokládat, kde se další prvočíslo objeví. Druhý fakt je ještě více udivující, kvůli tomu, že vyjadřuje přesný opak prvního faktu: výskyt prvočísel ukazuje omračující pravidelnost a jistě existují nějaké zákony, které určují, kde bude další prvočíslo."